Zero di e^x + x per bisezione e Taylor

Testo

Sia $g(x)=e^{x}+x$. (a) Trova la soluzione dell’equazione $g(x)=0$ compresa tra $x=-1$ e $x=0$ col metodo di bisezione, con errore $\le 0.2$. (b) Trova la soluzione con un’approssimazione polinomiale di primo grado. (c) Trova la soluzione con un’approssimazione polinomiale di secondo grado.

Soluzione

(a) Bisezione. Verifico il cambio di segno: $g(-1)=e^{-1}-1=0.368-1=-0.632<0$, $\;g(0)=1+0=1>0$. Radice in $[-1,0]$.

• $g(-0.5)=0.607-0.5=+0.107>0\Rightarrow$ radice in $[-1,-0.5]$.
• $g(-0.75)=0.472-0.75=-0.278<0\Rightarrow$ radice in $[-0.75,-0.5]$.
• $g(-0.625)=0.535-0.625=-0.090<0\Rightarrow$ radice in $[-0.625,-0.5]$, ampiezza $0.125<0.2$.

Quindi $x_0\approx-0.57$ (il valore esatto è $\approx-0.567$).

(b) Approssimazione di primo grado (Taylor in $0$). $g(0)=1$, $g'(x)=e^{x}+1\Rightarrow g'(0)=2$. Retta: $1+2x=0\Rightarrow$ $x_1=-\tfrac12=-0.5.$

(c) Approssimazione di secondo grado. $g''(x)=e^{x}\Rightarrow g''(0)=1$. Polinomio: $1+2x+\tfrac{x^2}{2}=0\Rightarrow x^2+4x+2=0$ $x=-2+\sqrt2\approx-0.586.$ Buona approssimazione della radice vera $\approx-0.567$. $\boxed{x_0\approx-0.567,\qquad x_1=-0.5,\qquad x_2=-2+\sqrt2\approx-0.586}$

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Algoritmo di bisezione · Teorema degli zeri
Competenze: Approssimare
Tipo di esercizio: Calcolo numerico